CONCEPTO DE PROPOSICION
- Secuencia finita de signos con significado y sentido de ser calificado como verdadero o falso.
- Expresión lingüística susceptible de ser calificada de verdadera o falsa. hace referencia explicita a las oraciones aseverativas o enunciativas.
EJEMPLOS:CIERTOS
- La raíz cuadrada de 4 es 2.
- Los bebes lloran.
- Un cuadrado tiene 4 lados.
FALSOS
- Todos los carros tiene 2 ruedas.
- 20 + 20 = 20.
- Ningún hombre sabe leer.
Proposiciones compuestas
(Disyunción, Conjunción, Negación, Condicional, Bicondicional)
La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsa
La conjunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir es verdadera cuando ambas son verdaderas.
La negación es un operador que se ejecuta. sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada.
El bicondicional o doble implicación es un operador que funciona sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y falso cuando sus valores de verdad difieren.
El condicional material es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso.
Tablas de Verdad
Para empezar debemos de conocer los Símbolos de las conectivas:
la negación es una conectiva lógica que transforma un enunciado en su opuesto lógico y se le llama conectiva singular porque se aplica sobre un solo enunciado
la conjunción es una conectiva lógica que enlaza dos enunciados dando como resultado una fórmula que será verdadera solamente cuando sus enunciados componentes son verdaderos
la disyunción es una conectiva lógica que enlaza dos enunciados dando como resultado una fórmula que será verdadera solamente cuando al menos uno de sus enunciados componentes es verdaderos, siendo falsa cuando ambos son falsos
la condicional es una conectiva lógica que enlaza dos enunciados dando como resultado una fórmula que será verdadera cuando el segundo enunciado sea verdadero o tenga el mismo valor de verdad que el primero. al primer enunciado involucrado se le llama antecedente y al segundo se le llama consecuente
la doble condicional o bincondicional es una conectiva lógica que enlaza dos enunciados dando como resultado una fórmula que será verdadera solamente cuando sus enunciados componentes tienen el mismo valor de verdad
Las tautologías son identidades lógicas que siempre serán verdaderas, no son solo un útil objeto en la lógica son usadas primordialmente para pruebas sentenciales, desempeñan un papel fundamental en los procesos de la deducción dentro de esta lógica (sentencial).
Ejemplo:
La expresión ‘(p ^ q) → (p v r)’ es una tautología.
Si una proposición compuesta es falsa para todas las asignaciones entonces es una contradicción. Son formulas sentencialmente contra-validas o de tercer grado. Ejemplo:
P ∧ ¬P (se lee: P y no P). Su tabla de verdad es la siguiente.
Se utilizan para hacer circuitos de control y automatismo, surgen cuando en dos proposiciones, su equivalencia es verdadera y falsa a la vez. Ejemplo:
A^(BVC)
Dos proposiciones s1,s2, son lógicamente equivalentes cuando la proposición s1 es verdadera (respectivamente, falsa) si y solo si la proposición s2 es verdadera (respectivamente, falsa).
Decimos que dos proposiciones son equivalentes cuando cada una de ellas implica a la otra. El camino usual para probar la equivalencia de dos proposiciones consiste en deducir cada una de ellas a partir de la otra.
Ejemplo: Las fórmulas siguientes son equivalentes:
(p → ¬q) ∨ (¬p ∨ r) ¬p ∨ ¬q ∨
- NEGACION: ¬, se lee “No es cierto que …”
- CONJUNCION:^, se lee “… y …”
- DISYUNCION: v, se lee “… o …
- CONDICIONAL: →, se lee “si … entonces …”
- BICONDICIONAL: ↔, se lee “… si y solo si …
la negación es una conectiva lógica que transforma un enunciado en su opuesto lógico y se le llama conectiva singular porque se aplica sobre un solo enunciado
Tabla de Verdad Negación
la conjunción es una conectiva lógica que enlaza dos enunciados dando como resultado una fórmula que será verdadera solamente cuando sus enunciados componentes son verdaderos
Tabla de verdad conjunción
la disyunción es una conectiva lógica que enlaza dos enunciados dando como resultado una fórmula que será verdadera solamente cuando al menos uno de sus enunciados componentes es verdaderos, siendo falsa cuando ambos son falsos
Tabla de Verdad Disyunción
la condicional es una conectiva lógica que enlaza dos enunciados dando como resultado una fórmula que será verdadera cuando el segundo enunciado sea verdadero o tenga el mismo valor de verdad que el primero. al primer enunciado involucrado se le llama antecedente y al segundo se le llama consecuente
Tabla de Verdad Condicional
la doble condicional o bincondicional es una conectiva lógica que enlaza dos enunciados dando como resultado una fórmula que será verdadera solamente cuando sus enunciados componentes tienen el mismo valor de verdad
Tabla de Verdad Bicondicional
Tautologías, contradicción y contingencia
Tautología
Las tautologías son identidades lógicas que siempre serán verdaderas, no son solo un útil objeto en la lógica son usadas primordialmente para pruebas sentenciales, desempeñan un papel fundamental en los procesos de la deducción dentro de esta lógica (sentencial).
Ejemplo:
La expresión ‘(p ^ q) → (p v r)’ es una tautología.
Contradicción
Si una proposición compuesta es falsa para todas las asignaciones entonces es una contradicción. Son formulas sentencialmente contra-validas o de tercer grado. Ejemplo:
P ∧ ¬P (se lee: P y no P). Su tabla de verdad es la siguiente.
Contingencia
Se utilizan para hacer circuitos de control y automatismo, surgen cuando en dos proposiciones, su equivalencia es verdadera y falsa a la vez. Ejemplo:
A^(BVC)
EQUIVALENCIAS LOGICAS
Decimos que dos proposiciones son equivalentes cuando cada una de ellas implica a la otra. El camino usual para probar la equivalencia de dos proposiciones consiste en deducir cada una de ellas a partir de la otra.
Ejemplo: Las fórmulas siguientes son equivalentes:
(p → ¬q) ∨ (¬p ∨ r) ¬p ∨ ¬q ∨
REGLAS DE INFERENCIA
Técnicas fundamentales en el desarrollo de una justificación paso por paso de cómo una conclusión se sigue a partir de las premisas.
Las premisas son cada una de las proposiciones anteriores a la conclusión.
La conclusión es la consecuencia lógica de las premisas.
Reglas:
1. Modus Ponendo Ponens (MPP): Método que afirmando afirma; establece que si una implicación es cierta y además también su antecedente, entonces su consecuente es necesariamente verdadero.
ARGUMENTOS VALIDOS Y NO VALIDOS
Un argumento es una secuencia de afirmaciones.
Todas las afirmaciones excepto la última se llamarán premisas, o suposiciones o hipótesis. La declaración final se llamará conclusión. Diremos que un argumento es argumento válido si para cualquier valor de las variables proposicionales involucradas en las fórmulas que hacen verdaderas las premisas, también la conclusión es verdadera.
De la propia definición de argumento válido se puede deducir una metodología para verificar la validez de un argumento:
1. Identificar las premisas y la conclusión
2. Construir una tabla de verdad que incluya las premisas y la conclusión
3. Señalar de la tabla sólo aquellos renglones que hacen que todas las premisas sean verdaderas. Estos se llamarán renglones críticos.
4. Verificar que para los renglones críticos, la conclusión es verdadera.Ental caso se tiene un Argumento válido ó
5. Detectar si existe un renglón crítico con conclusión falsa.En cuyo caso se dirá Argumento inválido.
DEMOSTRACIÓN FORMAL
(DIRECTO POR CONTRADICION)
Contradicción
Contradicción es aquella proposición que siempre es falsa para todos los valores de verdad, una de las mas usadas y mas sencilla es p∧p’ .
Como lo muestra su correspondiente tabla de verdad.
p p’ p^p’
0 0 1
1 0 0
EJEMPLOS:
Pruebe presentado una prueba por contradicción que si X * Y = 0, entonces X= 0 o bien Y = 0. Suponga que si a, b y c son números reales con a * b = a * c y a ≠ o, entonces b = c;
Resolución
XY = 0 entonces x ≠ 0 o bien Y ≠ 0;
Con X ≠ 0 entonces XY = X*0 = 0
Siendo a = X, b = Y, C = 0 ab= ac entonces XY = X * 0 con x ≠ 0 entonces concluimos que Y = 0.
El procedimiento de la demostración por contradicción es semejante a la que se realizó por el método directo con la diferencia de que las líneas iniciales de dicha demostración no son únicamente las hipótesis, sino además se incluye en la demostración una línea con la negación de la conclusión. Por otro lado el objetivo de la demostración es llegar a una contradicción.
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